Fue elegido Gentleman of the Chapel Royal y Maestro de los niños Coristas de la Capilla Real en 1638, reemplazando probablemente a John Tomkins. También fue maestro de música en Londres en los años 1650. En los "Choice Psalmes" de Henry y William Lawes (1648), a la que agregó una elegía en memoria de William Lawes, es descrito como 'organist of the Chapel' y un ‘fellow-servant' de William Lawes. Es mencionado en "A Musicall Banquet" de John Playford (Londres, 1651) como maestro de órgano y virginales.

En su testamento del 13 de enero de 1644 el Arzobispo de Canterbury William Laud dejó a Cobb ‘£50, mi órgano que está en Croydon, mi arpa, mi caja de violas, y el clavicordio en el locutorio de Lambeth'. Esto sugiere que era músico de Laud, posiblemente pariente de Richard Cobb, sirviente de confianza del arzobispo. Cobb entró evidentemente en el círculo de los hermanos Lawes, Walter Porter y John Wilson. Los textos de los libros de anthem de la Capilla Real son el principal registro de su actividad como compositor de música de iglesia. Su música secular comprende ayres, catches y canones y un poco de música instrumental, siendo las fuentes principales "Catch that Catch Can" de Hilton (Londres, 1652) y el tercer libro de "Select Ayres and Dialogues" de Playford (Londres, 1659). El catch "Smiths are good fellows" fue particularmente popular. 

Su docto canon “O pray for the peace of Jerusalem” apareció en la edición de 1652 de "Catch That Catch Can".  También contribuyó con obras para los ‘loose Papers' lanzados antes del 'Old Jewry Music Club' que comprende un compendio interesante del repertorio de partituras populares durante el Commonwealth y el primer periodo de la Restauración.